【メネラウスの定理不要】補助線1本で簡単に解ける図形【中学受験の算数】

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11.08.2022
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【 難易度:★★☆☆☆ 】 2015年の城北中学の入試問題です。 ▼重要な解法ポイント ①まずはDからAEに対してBCに平行な補助線を引いてみましょう。そうすると同じ形の図形が見えてくるはずです。ここからDF:FCの比をどのように求められそうか考えてみましょう。 ②DからAEに対してBCに平行な補助線とAEの交点をGとすると、△ADGと△ABEの図形が同じ形であることがわかるはずです。そうするとDGの長さが求まるので、あとは△DFGと△CFEの三角形の相似な関係からDF:FCが求められそうですね。 メネラウスの定理は便利ですが、高校数学で習う範囲なので解法として扱うのは難しいと思い、ぎりぎり小学生でも解けるような解法で解説してみました。 補助線一つで、色々な長さの情報がわかってくる問題は面白いですよね。 ▼manavisquare(まなびスクエア)の各SNSはこちら HP 🤍manavigate.co.jp/ twitter 🤍twitter.com/manavisquare 菅藤 佑太twitter 🤍twitter.com/mrkeiosfc16no1 ▼お気軽にお問合せください! kikaku🤍mnsq.jp

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Комментарии пользователей:
12 YU
2022-09-01 17:31:36

いやー難しいですね。これを小学生が解くのか…

kta 0823
2022-08-28 22:09:11

なるほどなぁ
かなり力技ですがBFに補助線引いて
(ADF+ACF)/(CEF+ACF)=3/2
BEF/CEF=5/2
BDF/ADF=4/3
(ADF+ACF)/(BDF+BEF+CEF)=3/4
を連立してADF/ACFを求めましたが結構大変でした

Defcon2夜の帳
2022-08-26 11:23:24

⊿ADF=3S⇒⊿DBF=4S, ⊿FBE=5T⇒⊿FEC=2T, ⊿AFC=K,
5:2=7S:K⇒14S=5K, 3:4=K:7T⇒21T=4K⇒K=14S/5=21T/4,
DF:FC=3S:K=3S:14S/5= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14

赤司征十郎
2022-08-17 08:20:41

ぶっちゃけAEの平行線を引いた方が広くて見やすいよねw

2022-08-14 13:45:17

メネラウスの定理使いましたが解けました。(反則技使いました)

Defcon2夜の帳
2022-08-12 07:38:35

私は以下のように解きました。
⊿ADF=3S⇒⊿DBF=4S
⊿ABF:⊿AFC=7S:⊿AFC=5:2
⇒5*⊿AFC=14S⇒⊿AFC=14S/5
DF:FC=⊿ADF:⊿AFC=3S:14S/5= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14

みさゆう
2022-08-11 21:21:58

てんびんを使うともっと早く楽に解けますよ。
BE:EC=5:2なので、Bに2、Cに5と書いておく。
AD:DB=3:4なのでAに4、Bに3と書く。
ここでBに2と3があり、数値が違うので、最小公倍数の6にする。
Bの6を基準にして先に書いたAとCの値も対応するよう書き換えるとAは8、Cは15になります。
あとは、てんびんの重心に両端に書いた数字の和を書くのですが、Dは14になります。
するとC:Dは d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14 となり、てんびんの長さは逆比になるので、DF:FC= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14 になります。

ymunoji
2022-08-11 18:11:20

メネラウスの定理の証明とかぶるが、
△ABF:△ACF=5:2
△FAD:△FBD=3:4より
△ADF:△ACF=5×3/7:2= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14
と出しました。

定理というのは、
「同様の事例が多数出てくるから、いちいち証明しなくていいようにしましょう」
というものなので、
「図形と仲良くなってから定理とも仲良くする」
というのは、図形に限らずどの定理にも当てはまる考えだと思うし、そうやって覚えた定理は一生ものになるはずです。

実際、サムネで「メネラウスを使わない」とあったら、「メネラウスの証明方法を使えばいいな」と思って上の解答を思いついたくらいなので。

kentak1012
2022-08-11 15:24:07

必殺ベンツ切りで

Hiromasa Kittaka
2022-08-11 11:10:28

氏も動画中で言及されていましたが、補助線BFも良い考えだと思います。

求める DF : FC は △ADF と △AFC の面積比なので、まず、△AFCの面積を1と置きます。
△ABE : △AEC = 5 : 2
△FBE : △FEC = 5 : 2 なので、
△ABF : △AFC = △ABE - △BEF : △AEC ー △FEC = 5 : 2 となり、△ABF の面積は 5/2 となります。
△ADF : △DBF = 3 : 4 なので、
△ADF の面積は △ABF の面積の 3/7 となり、△ADFの面積は 5/2 × 3/7 = 15/14 となります。
よって、DF : FC = △ADF : △AFC =15/14 : 1 = 15 : 14 となります。

まさに釈迦に説法ですが、念のため。

まっちゃん
2022-08-11 10:54:41

△ABF:△ACF=5:2なので、△ADF:△ACF=5×3/7:2=15 : 14
として解きました。三角形の相似を使っても解けるのですね。勉強になりました✨

TG tarou
2022-08-11 10:39:15

補助線1本と書いてあったので、DFに補助線をひいて、△ADF:△ACFの面積比で答えを出しました。

油滓発酵鶏糞苦土石灰
2022-08-11 10:33:44

△ABF:△ACF=5:2
△CAF:△CBF=3:4
△ABF△BCF:△CAF=15:8:6
DE:EC= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14

ももくん
2022-08-11 10:12:56

DEに補助線を引いて考えました

△DBE:△DAE=DB:DA=4:3…①
△ABE:△ACE=BE:CE=5:2…②

△DBEを20とすると
①より△DAE=△DBE/4*3=20/4*3=15
△ABE=△DBE+△DAE=20+15=35
②より△ACE=△ABE/5*2=35/5*2=14

△DAE:△ACE=DF:FC= d_bx4Q2GbJc&t=15m14s 15:14

としましたが、最後のところはきっとこうなるだろうっていう感じでよく分かってませんw

ゲンジョー
2022-08-11 09:55:24

角Bの角度もACの長さも与えられてなかったりするので
Bを原点としたグラフのFの座標を求める問題
に置き換えることができる気がしましたが・・・
中学受験問題と考えると邪道ですねw

Yooky Galm
2022-08-11 09:49:00

△ABF:△BCF:△CAFの面積比で考えると簡単。

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